大学受験 数学

数学的帰納法 等式編 ドミノの例でわかりやすく解説!難しいなんて言わせない!

投稿日:2018年10月12日 更新日:

どうも、

みんなが苦手数学的帰納法です。数学的帰納法って何が起こってるのかワケワカメですよね。

 

 

はい。いきなりスベリました。すいません。

でも、「ハッキリ言って何が起こっているかわからない」 という人も絶対いるはずです。だって名前からして意味不明だし。

そんな嫌われ者の数学的帰納法くん、実はパターンを理解して暗記してしまえば、得点の取りどころです。(稀に難しいものもある)

本当ですよ。

今日は分かりやすい、とっておきの例を持ってきたので簡単に数学的帰納法を絶対に理解できるはずです。

 

数学的帰納法はテストでも頻出です。センターではずっと出ていなかったのに2013年に突然出題され、今後も出題されるかもしれません。

是非、数学的帰納法の得意問題にして、得点UPを狙ってください。

数学的帰納法とは

数学的帰納法=数学的+帰納法です。

帰納法

(卵一つ一つが具体例。というには無理があるか。。。)

帰納法とは、「具体例をたくさん出し、その結果を集めて、結論を出す。」ということです。

 

 

具体例を出します。最初からそうすれば良かった(笑)。

  • 「今までに見たカラスはすべて黒かった。」「カラスはすべて黒い。」

今日見たカラスも、昨日見たカラスも、1年前見たカラスも黒かったので、カラスはすべて黒いという結論を出したわけです。

このように、一つ一つの結果・状態(カラス一匹一匹の色)を考えて、それを根拠に結論を出すということです。

実は、佐賀県に豊臣秀吉が朝鮮出兵のときに連れ帰ったといわれるカササギという胴が白いカラスがいます。

ということはこの命題(カラスの話)は間違っていた、ということになります。帰納法には間違っていることもあります。

 

で、数学的帰納法って何?

次の段落の『数学的帰納法の手順と意味』を読んでから帰って来るとよくわかるんですが、数学的帰納法では

n=1のとき、n=2のとき,n=3,n=4….

のように、一つ一つの場合をすべて確認していることになります。このやり方が帰納法に似ていることから、「数学的帰納法」といわれるようになりました。

似ているだけです。

考えてみてください。数学的帰納法の問題って先に結論が書いてありますよね。~~~~~=~~~を証明しなさい、みたいに。

帰納法は「具体例をたくさん出し、その結果を集めて、結論を出す。」、数学的帰納法は「結論を、具体例をたくさん出して証明する。」

つまり、順番が逆なんです。

記述試験で数学的帰納法と書かないといけないときに「面倒だから帰納法でいいや」って書いたとします。

厳密には数学的帰納法は帰納法ではありません。つまり、減点されるかもしれません。

面倒でも数学的帰納法ってちゃんと書いてくださいね。

数学的帰納法の手順と意味

数学的帰納法の基本パターンはズバリ

  • n=1のときに成立すること
  • n=kのときに成立すると仮定すると、n=k+1でも成立すること

この2つを確認するだけです。

なぜ、これだけですべての自然数について証明されたことになるのか。

 

それはよくドミノに例えられます。ドミノが倒れる=成立する とすると。

 

  • 『n=1のときに成立する』ことを確認する

は 「一番最初のドミノは倒れるかどうかを確認する」 ということです。簡単ですね(笑)。

でもちゃんと確認しないといけません。もしかしたら、誰かのいたずらで一番最初のドミノが床に接着されていて、倒れないかもしれないですよね(笑)。

 

  • 『n=kのとき成立すると仮定すると、k+1番目のドミノでも成立する』ことを確認する

n=kのとき成立すると仮定するとは 「もし最初からk番目のドミノが倒れたら、」 ということです。

だから、ここでは既にk番目のドミノは倒れているんです。

このときにk+1番目のドミノが倒れるのか、ということを確認するのです。

k番目のドミノとk+1番目のドミノの間が離れていたら倒れないですよね。k+1番目のドミノがちゃんと倒れる距離にあるかを確認するということです。

 

 

これで、

  • n=1のときに成立すること
  • n=kのときに成立すると仮定すると、n=k+1でも成立すること

が確認できました。つまり、

  • 一番最初のドミノは倒れる
  • k番目のドミノが倒れるとき、k+1番目のドミノも倒れる・・・★

ということは、

1番目のドミノを倒すと、★より、1+1=2番目のドミノが倒れる。

2番目のドミノを倒すと、★より、2+1=3番目のドミノが倒れる。

・・・

(こんな風に)

となりますよね。つまり、

n=1で成立する。n=2でも成立する。n=3でも・・・・・・

って無限に続きますよね。だから全ての自然数で成り立つことが証明できるわけです。

 

数学的帰納法 等式編の例題

(等式の画像ではないけど(笑))

なんとなく数学的帰納法の様子はわかりましたか。

やっぱり日本語だけで永遠と説明されてもわかりにくいですよね。それじゃあ、例題行ってみよう!(急だけど(笑))

 

nが自然数のとき、次の式が成立することを数学的帰納法を用いて証明しなさい。

1²+2²+…+n²=1/6n(n+1)(2n+1)・・・♡

 

<方針>

まず、n=1のときに成立することを確認します。その後n=kで成立することを仮定して、n=k+1で成立することを証明すれば終わりです。

 

<ポイント>

ここ重要!

  • n=k+1が成立することを証明するときは99.9%の確率でn=kのときに成立した式を使う。
  • どうやってn=kのときに成立した式からn=k+1の式を導くかが数学的帰納法のポイント。

 

<解答>(黒文字が解答、赤文字が注意点です。)

(ⅰ) n=1のとき

(左辺)=1²=1、

(右辺)=1/6・1・2・3=1

よって、n=1のとき(左辺)=(右辺)で♡は成立する。

 

このときに(右辺)を先に計算して、いきなり(右辺)=1とするのは減点です。(♡の右辺)が本当に1になるのか、を確認しないといけない場所だからです。

馬鹿らしい計算ですが、しっかり記述しましょう。

 

(ⅱ) n=kのとき

1²+2²+…+k²=1/6・k(k+1)(2k+1)・・・☆

が成立すると仮定する。☆の両辺に(k+1)²を加えて

 

ここでは右辺にn=k+1を代入した形、(右辺)=1²+・・・+(k+1)²を作ることを考えます。

 

(左辺)=1²+2²+・・・+k²+(k+1)²

 

右辺をn=k+1を代入した形の1/6・(k+1)(k+2)(2k+3)にする。ここでは2つの項に(k+1)が含まれていることに注目して因数分解してみる。

(右辺)=1/6・k(k+1)(2k+1)+(k+1)²

=1/6・(k+1){k(2k+1)+6(k+1)}

=1/6・(k+1)(k+2)(2k+3)

これは♡の右辺にn=k+1を代入したものである。よって、♡はn=k+1でも成立する。

(ⅰ)、(ⅱ)より、♡はすべての自然数nについて成立する。

 

 

という具合に証明終了です。余計な注意点なしの解答を載せておきます。(何が余計だよ!(笑))

<解答>

(ⅰ) n=1のとき
(左辺)=1²=1、

(右辺)=1/6・1・2・3=1
よって、n=1のとき(左辺)=(右辺)で♡は成立する。

(ⅱ) n=kのとき
1²+2²+…+k²=1/6・k(k+1)(2k+1)・・・☆
が成立すると仮定する。☆の両辺に(k+1)²を加えて

(左辺)=1²+2²+・・・+k²+(k+1)²

(右辺)=1/6・k(k+1)(2k+1)+(k+1)²
=1/6・(k+1){k(2k+1)+6(k+1)}
=1/6・(k+1)(k+2)(2k+3)

これは♡の右辺にn=k+1を代入したものである。よって、♡はn=k+1でも成立する。

(ⅰ)、(ⅱ)より、♡はすべての自然数nについて成立する。

 

思っていたより記述量少ないですよね。でもこれだけでいいんです。数学的帰納法は「n=k+1の証明」以外は毎回同じこと書いてればいいんです。

その代わり、「n=k+1の証明」だけは頭使って考えなきゃいけません。だいたい、n=kの式の左辺をn=k+1の式になるように両辺になにか足せば解けます。

 

数学的帰納法 等式編の演習題

では、例題①を参考にしながら実際に手を動かして解いてみましょう。形式はほとんど同じです。

 

nが自然数のとき、次の式が成立することを数学的帰納法を用いて証明しなさい。

1³+2³+…+n³=1/4n²(n+1)²・・・①

 

<方針>
先ほどと同じく、n=1のときに成立することを確認します。その後n=kで成立することを仮定して、n=k+1で成立することを証明すれば終わりです。

 

<ポイント>

ここも重要!

  • n=k+1が成立することを証明するときは99.9%の確率でn=kのときに成立した式を使う。
  • どうやってn=kのときに成立した式からn=k+1の式を導くかが数学的帰納法のポイント。

ではいきなり解答へ。

(ⅰ)n=1のとき

(左辺)=1³=1、

(右辺)=1/4・1²(1+1)²=1

よって、n=1のとき(左辺)=(右辺)で①は成立する。

(ⅱ)n=kのとき

1³+2³+…+n³=1/4n²(n+1)²・・・①が成立すると仮定する。①の両辺に(n+1)³を加えて、

(左辺)=1³+2³+・・・+n³+(n+1)³

(右辺)=1/4n²(n+1)²+(n+1)³

=1/4・{n²(n+1)²+4(n+1)³}

=1/4・(n+1)²{n²+4(n+1)}

=1/4(n+1)²(n+2)²

これは①の右辺にn=k+1を代入したものである。よって、①はn=k+1でも成立する。

 

出来たでしょうか。やり方は例題とほぼ同じでしたね。

k=n+1のときの証明では、(n+1)²に注目して因数分解すれば簡単でしたね。

これで、数学的帰納法の基本は終了です。流れ通りにやれば、意外と簡単でしたよね。この流れを頭の中に入れれば、テスト中は圧勝ですよ。

数学的帰納法は点取り問題にして、高得点を取ってください。

では、頑張って下さい。

※数学的帰納法 不等式編、3項間漸化式編、n≦kを仮定する編も公開する予定です。

とりあえず、不等式編は完成しました。是非、読んで下さい。

数学的帰納法 不等式もこれで余裕!両辺の差を取る理由も解説!

 

 

 

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