【不思議】なぜ２や３の０乗は１になるの？０の０乗は？

投稿日：2018年12月23日更新日：2020年3月17日

はい。

新企画、「学生の不思議」シリーズです。

パチパチパチパチ。

参考書とかの話ばっかりしていても、つまらないので他の話をしよう。

ということで、このシリーズは中学・高校の数学で習う不思議、疑問についての記事になります。

今回は記念すべき第１回。２や３の０乗が１になることについてです。

学校では、２や３の０乗は１です、と理由を説明してもらえないので今回はそこから紹介していきます。

２や３の０乗＝１の理由

①そもそも定義だから

これは実は定義なんです。

定義は、最初に「～～は～～とお約束しましょうね」と決めたことです。

もう絶対に揺らがない決まり事なんです。

（実際はｘ^０＝１だと都合がいいからです。）

「２や３の０乗は１」と定義されたことなので、そもそも理由なんてなかったんです。証明をするものではないです。

１+１＝２

と同じようなもんです。（だいたい）

「２や３の０乗が１である理由」と書いてありますが、厳密には理由ではないです。

だけど、そんな細かいことは気にしないよね！

ということで、レッツゴー！

②累乗の規則から

試しに、他の～～乗も調べてみましょう。

２³＝８
２²＝４
２¹＝２
２⁰＝？

１つ↓に行くごとに、「÷２」されますよね。

８→４→２→？　

って来たらもう？＝１しかないですよね。規則性的に、２^０＝１というわけです。

３の０乗も同じようにできます。

でも、これでは何か雑じゃない？

スッキリ納得！

とは、なかなか行きませんよね。なんか押し付けられた感が残ります。

他の方法で行ってみましょう。

➂指数法則から

指数法則で

２^m×２ⁿ＝２^m+ｎ

がありますよね。高校生以上の方は知っていると思います。

中学生以下の方に説明すると、

例えばｍ＝２、ｎ＝３のとき。

左辺＝４×８＝2×2×2×2×2

つまり、２の５乗ですね。２+３＝５。正しいことがわかりましたね。

パターン１

そして、２^m×２ⁿ＝２^m+ｎの式に代入していきます。ｍ＝２、ｎ＝０のとき、

２²×２＝２^２+０＝２²

２の０乗を掛けたのに、式の形が変わらない。つまり、２の０乗＝１である。

ということですね。

パターン２

やっていることは、ほぼ同じなんですが、もう一つ紹介。

ｍ＝２、ｎ＝－２のとき。

２^－２＝¼のことです。表を見てくれれば、分かると思います。

１つ右に行く度、÷２されますね。

２	１	０	－１	－２
４	２	１	½	¼

話を戻して、ｍ＝２、ｎ＝－２のとき。

２^２×２^－２＝２^２－２＝２^０

　　　　　＝４×¼ ＝１

というわけです。

こちらの方がわかりやすかったですかね。

次に行きましょう。

④考え方に一工夫

２^３＝2×2×2　というわけですが、2×2×2の前にひとつ１を加えても意味は変わらないですよね。

２^３＝１×2×2×2

２^２＝１×2×2

２^１＝１×2

２^０＝１

１を掛けても、答えの数は変わらないということで、先頭に１を加えました。

１に０個の２を掛けるということで、２の０乗は１であるということですね。

０の０乗はどうなの？

今まで、２や３の０乗については考えてきましたが、０の０乗はいくつなのか？

疑問すぎて、夜も眠れない(笑)。

結論から言うと、

０の０乗は存在しない

教科書を見てくれても、おそらく０のことは書いていないと思います。

a≠０のとき、a⁰=1

と書いてあるはず。

a=0のときは定義していないので、存在しないのです。

１÷０を考えるのと同じことです。０で割ることは定義されてないですよね。

だから、答えは分からない、というか存在しないんです。

なんか、大学数学の解析学では０⁰を微分積分で考えるようですが、

中学・高校数学の範囲内では存在しません。

まとめ

今回は記念すべき「中高数学の不思議」の第一回として、

２や３の０乗

についてでした。

今後もガンガン更新していくので、中高数学の不思議シリーズを見ていってください。

そして、毎度の名言紹介。

大切なのは、
疑問を持ち続けることだ。
神聖な好奇心を失ってはならない。
　アインシュタイン　

これからも、みんなの不思議・疑問を解決していくぞ！

【学生の不思議②】数学：なぜ1=0.9999…が正しい？誰でもわかる証明５選

執筆者：dio