数学 nCrの公式の証明や計算方法！順列との使い分けも伝授！

高校受験、大学受験の場合の数、確率で嫌になるほど出てくる組み合わせの公式nCr。理解できない人にとっては

 

何回出てくるんだ！

 

ってかんじですよね。順列と区別もつかないし、「組み合わせだ！」と思ったときはだいたい順列っていう。。。。

ということで、今回は組み合わせの公式nCrの計算方法、使い方、証明について書いていこうと思います。

数学 nCrの意味と公式

nCrの意味は

『ｎ個の中から、順番は考えないでｒ個取り出す』

例えば、

「A、B、C、D」の４個の中から２個取り出す

ことを考えましょう。

このとき、「AB」＝「BA」です。順番は関係ない組み合わせだからです。

そして、これは全部で「AB、AC、AD、BC、BD、CD」の６通りあります。

ｎ＝４レベルなら１つ１つ数え上げても解けますが、100個の中から２個を取り出すとかになってくると数えてられません。

そんなときに使うのがnCrです。

分母には全部でｒ個の

ｒ×(r-1)×・・・１　を書きます。

分子にもｒ個

ｎ×(n-1)×・・・　と書きます。

４個の中から２個を選ぶときは、

（https://blog.apar.jp/data-analysis/3927/より）

分母には２×１、分子には４×３です。分子は大きい方からｒ個書きます。

そしてnCrの公式は

です。

 

？

 

こういうことです。

n!=n×(n-1)×…×(n-r+1)×(n-r)×…×１

r!(n-r)!=r×(r-1)×…×１　×(n-r)×…×１

 

分母にｒ個の掛け算、分子にもｒ個のn×(n-1)×…が必要です。

ただ、分子にn!を置いてしまうと多すぎるのでｒ個に調節するために分母に（n-r)!を置いたわけです。

 

実際に計算するときは公式の方ではなく、

分母にr!、分子にｒ個のn×(n-1)×…にしましょう。

 

ちなみに、ｎC₀＝１です。

ｎ個の中から０個を選ぶ選び方は、何も選ばないという１通りだけです。

数学 nCrの計算練習

いきなり、問題です。

5枚のカード「1,2,3,4,5」の中から２枚のカードを選ぶ方法は何通りですか。

選んだ２枚の中に順番は関係あるでしょうか。

カードは「1,2」と「2,1」は異なって数えるのか。

 

今回は「1,2」＝「2,1」です。

カードの組み合わせ＝セットの数を聞かれているので、順番は関係ないです。ということは、nCrが使えます。

₅C₂＝５×４/2×１＝10

です。

まとめ

nCr自体難しくはないと思います。

是非、計算練習をいっぱいして順列と組み合わせの使い分けに慣れていってください。