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【学生の不思議①】数学:なぜ2や3の0乗は1になるの?0の0乗は?

投稿日:2018年12月23日 更新日:

 

はい。

新企画、「学生の不思議」シリーズです。

パチパチパチパチ。

参考書とかの話ばっかりしていても、つまらないので他の話をしよう。

ということで、このシリーズは中学・高校の数学で習う不思議、疑問についての記事になります。

今回は記念すべき第1回。2や3の0乗が1になることについてです。

 

学校では、2や3の0乗は1です、と理由を説明してもらえないので今回はそこから紹介していきます。

 

2や3の0乗=1の理由

whatじゃなくて、whyか(笑)

①そもそも定義だから

これは実は定義なんです。

定義は、最初に「~~は~~とお約束しましょうね」と決めたことです。

もう絶対に揺らがない決まり事なんです。

(実際はx=1 だと都合がいいからです。)

 

「2や3の0乗は1」と定義されたことなので、そもそも理由なんてなかったんです。証明をするものではないです。

1+1=2

と同じようなもんです。(だいたい)

 

「2や3の0乗が1である理由」と書いてありますが、厳密には理由ではないです。

だけど、そんな細かいことは気にしないよね!

  

ということで、レッツゴー!

②累乗の規則から

試しに、他の~~乗も調べてみましょう。

2³=8

2²=4

2¹=2
m

=?

 

1つ↓に行くごとに、½になりますよね。

8→4→2→? 

って来たらもう?=1しかないですよね。規則性的に、2=1というわけです。

3の0乗も同じようにできます。

 

でも、これでは何か雑じゃない?

スッキリ納得!

とは、なかなか行きませんよね。なんか押し付けられた感が残ります。

他の方法で行ってみましょう。

 

➂指数法則から


指数法則で

m×2n=2m+n

がありますよね。高校生以上の方は知っていると思います。

中学生以下の方に説明すると、

 

例えばm=2、n=3のとき。

左辺=4×8=2×2×2×2×2

つまり、2の5乗ですね。2+3=5。正しいことがわかりましたね。

 

パターン1

そして、2m×2n=2m+nの式に代入していきます。m=2、n=0のとき、

2²×2=22+0=2²

2の0乗を掛けたのに、式の形が変わらない。つまり、2の0乗=1である。

ということですね。

 

パターン2

やっていることは、ほぼ同じなんですが、もう一つ紹介。

m=2、n=-2のとき。

 

-2=¼のことです。表を見てくれれば、分かると思います。

1つ右に行く度、÷2されますね。

-1-2
½¼

 

話を戻して、m=2、n=-2のとき。

×2-2=22-2=2

     =4×¼ =1

というわけです。

 

こちらの方がわかりやすかったですかね。

次に行きましょう。

 

④考え方に一工夫

=2×2×2 というわけですが、2×2×2の前にひとつ1を加えても意味は変わらないですよね。

=1×2×2×2

=1×2×2

=1×2

=1

 

1を掛けても、答えの数は変わらないということで、先頭に1を加えました。

1に0個の2を掛けるということで、2の0乗は1であるということですね。

 

 

0の0乗はどうなの?

今まで、2や3の0乗については考えてきましたが、0の0乗はいくつなのか?

 

疑問すぎて、夜も眠れない(笑)。

 

結論から言うと、

0の0乗は存在しない

 

教科書を見てくれても、おそらく0のことは書いていないと思います。

a≠0のとき、a0=1

と書いてあるはず。

a=0のときは定義していないので、存在しないのです。

1÷0を考えるのと同じことです。0で割ることは定義されてないですよね。

だから、答えは分からない、というか存在しないんです。

 

なんか、大学数学の解析学では00を微分積分で考えるようですが、

中学・高校数学の範囲内では存在しません。

 

まとめ

今回は記念すべき「 中高数学の不思議」の第一回として、

2や3の0乗

についてでした。

今後もガンガン更新していくので、中高数学の不思議シリーズを見ていってください。

 

そして、毎度の名言紹介。

大切なのは、

疑問を持ち続けることだ。

神聖な好奇心を失ってはならない。

 アインシュタイン 

 

これからも、みんなの不思議・疑問を解決していくぞ!

 

 

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