【背理法とは？】この例なら、どんな馬鹿でも背理法が分かる！

　

高１の数学で習う「背理法」。

高校数学では数学的帰納法と同レベルに嫌われる「背理法」ですが、実はとっても簡単。

みんな毎日「背理法」を使っているんです。

　

それをちょっと難しく言っただけ。

今回は「どんな馬鹿でもわかる」ように背理法を解説するので、安心してください。

この例と説明で分からなかったら、上野動物園のチンパンジーと一緒に一生を過ごしてくださいｗ

　

（それだけ自信があるのでｗ）

　

背理法とは？

まず「背理法」とは何でしょうか。

まあ、難しく言えば

背理法とは、ある命題 P を証明したいときに、P が偽であると仮定して、そこから矛盾を導くことにより、P が偽であるという仮定が誤り、つまり P は真であると結論付けることである

ウィキペディア

　

背理法っていうのは、私の理解だと

　

「Yes」or「No」、２つの道がある。

「No」の道を進んでいくと、行き止まりが現れてしまい、進めなくなってしまった。（矛盾）

だから「Yes」の道を進むのが正解だったんだ！

　

そんな感じです。

「Yes」か「No」のどっちの道を進めばいいか分かれば、それで終了です。

「Yes」で進んでいくと、ゴールにたどり着くまでが長い。でも「No」は行き止まりが近い。

そんなときは「Yes」で長い間進むより、「No」ですぐに行き止まりについてしまえば、「Yes」が正解だったと分かる。

　

そんな状況のときに使います。

　

背理法の具体例を紹介

背理法の流れとしては、

Aを証明したい

↓

「Aでない」で話を進める

↓

矛盾

↓

「Aでない」は間違い

↓

Aが正しい

背理法の具体例①　俺のアイデア

「私は男性である」という命題を証明しよう。

　

背理法で証明する。

　

「私が男性でない」つまり「私は女性である」と仮定する。

しかし、私には男性にしかないはずの「アレ」が付いている。

よって矛盾。

　

「私は女性である」という仮定が誤りであった。つまり、「私は男性である」

（証明終）

別に引用したわけではないですが、見やすいので

今回の証明は「私は男性である」を直接証明することは簡単だったので、わざわざ背理法を使う意味はなかったですが、

たまたま思いついたのでｗ

すいません。急に下品なの思いついてｗ

　

一番最初に書こうと思っていたのは例②です。

背理法の具体例②　よくドラマで見る

＜状況＞

A容疑者は「１８：００まで横浜で友人のパーティーに参加していたこと」が分かっている。

そして殺人事件は１８:５０に八王子で起こった。

　

ここから「Aさんは殺人犯でないこと」を証明する。

　

背理法で証明する。

　

「Aさんが殺人犯である」と仮定する。

そうすると、Aさんは１８:５０に八王子にいる必要がある。

しかし、横浜-八王子は横浜線でも最低１時間かかる。つまり、Aさんが八王子に到着するのは、最短でも１９:００。

１８:５０に八王子にいることは不可能。よって矛盾。

　

「Aさんは殺人犯である」という仮定が誤り。「Aさんは殺人犯ではない」

　

こういうの推理ドラマでよく見ますよね。コナンみたいな探偵漫画でもよく出てきます。

実は、みんな日頃から慣れ親しんでいる推理は「背理法」なんです。

　

背理法　証明問題①　

「有理数＝q / p」パターン

√2が無理数であることを証明しなさい。

√打つと見にくいので、写真で行きます。

今回のポイント「有理数は q/p（ｐは自然数。ｑは整数）」とおける。

ここでキーとなるのが「ｐとｑは互いに素」。つまり、ｐとｑは公約数を持たないわけです。（１は除きます）

(偶数)²＝(偶数)

(奇数)²＝(奇数)

だから(偶数)＝x²のとき、xは偶数なんです。

ｐとｑが公約数２を持ってしまうと、互いに素（公約数を持たない）に反してしまいます。

つまり矛盾です。

　

そして最後に決め台詞。

背理法　証明問題②

「有理数＝R」パターン

「２＋√3」が無理数であることを証明せよ。

途中の「左辺は無理数、右辺は有理数」となるとき、右辺は有理数の単純計算だけから成るわけです。

有理数の「和・差・積・商」だけから成るものは有理数です。

そしていつものように、矛盾。

「不条理」ってのは「間違い」ってことです。

背理法　証明問題③

恒等式パターン

ｘ、ｙは有理数とする。

ｘ＋ｙ√2＝０のとき、ｘ＝ｙ＝０となることを証明せよ。ただし、√2は無理数である。

「ｘ＋ｙ√3＝０のとき、ｘ＝ｙ＝０」の反対は、

「ｘ＋ｙ√3＝０のとき、ｘ≠０ or ｙ≠０」

ですが、こんなに全体を否定する必要はないです。

　

「ｙ＝０」の反対は「ｙ≠０」という狭い範囲で背理法を使ったわけです。ｙ＝０だとｙで両辺を割れないので。

「ｙ≠０」で矛盾が起きたので、ｙ＝０だね。

ｙ＝０だと、ｘ＝０になっちゃうね。

　

いつの間にか証明終わってた。

そんな感じ。

　

ｘ＋ｙ√2＝a＋b√2

みたいなやつは、右辺を左辺に移行して

(ｘ－a)＋(ｙ－ｂ)√2＝０

にしてしまえば、同じように解けますよね。「ｙ－ｂ≠０と仮定する」から始めればいいのです。

　

まとめ

定期テストなんかで出てくる「無理数・有理数の証明」の問題はだいたい↑の３パターンで解けます。

「～～＝ｑ/ｐ」と置くか、「～～＝R」と置くか、「～～≠０」と仮定するか。

　

√aが無理数であることの証明は、①。

√どうしの和・差の証明は、②。

係数が文字の証明は、③。

　

あくまでも目安ですが、だいたい↑の識別でOKです。

他は応用問題となるので、パターンはなく、その場で頭を使って考えてください。

　

背理法は使いこなせば、強力な証明法なのでぜひとも習得してください。