高１の数学で習う「背理法」。
高校数学では数学的帰納法と同レベルに嫌われる「背理法」ですが、実はとっても簡単。
みんな毎日「背理法」を使っているんです。
それをちょっと難しく言っただけ。
今回は「どんな馬鹿でもわかる」ように背理法を解説するので、安心してください。
この例と説明で分からなかったら、上野動物園のチンパンジーと一緒に一生を過ごしてくださいｗ
（それだけ自信があるのでｗ）
目次
背理法とは？
まず「背理法」とは何でしょうか。
まあ、難しく言えば
背理法とは、ある命題 P を証明したいときに、P が偽であると仮定して、そこから矛盾を導くことにより、P が偽であるという仮定が誤り、つまり P は真であると結論付けることである
ウィキペディア
背理法っていうのは、私の理解だと
「Yes」or「No」、２つの道がある。
「No」の道を進んでいくと、行き止まりが現れてしまい、進めなくなってしまった。（矛盾）
だから「Yes」の道を進むのが正解だったんだ！
そんな感じです。
「Yes」か「No」のどっちの道を進めばいいか分かれば、それで終了です。
「Yes」で進んでいくと、ゴールにたどり着くまでが長い。でも「No」は行き止まりが近い。
そんなときは「Yes」で長い間進むより、「No」ですぐに行き止まりについてしまえば、「Yes」が正解だったと分かる。
そんな状況のときに使います。
背理法の具体例を紹介
背理法の流れとしては、
Aを証明したい
↓
「Aでない」で話を進める
↓
矛盾
↓
「Aでない」は間違い
↓
Aが正しい
背理法の具体例① 俺のアイデア
「私は男性である」という命題を証明しよう。
背理法で証明する。
「私が男性でない」つまり「私は女性である」と仮定する。
しかし、私には男性にしかないはずの「アレ」が付いている。
よって矛盾。
「私は女性である」という仮定が誤りであった。つまり、「私は男性である」
（証明終）
別に引用したわけではないですが、見やすいので
今回の証明は「私は男性である」を直接証明することは簡単だったので、わざわざ背理法を使う意味はなかったですが、
たまたま思いついたのでｗ
すいません。急に下品なの思いついてｗ
一番最初に書こうと思っていたのは例②です。
背理法の具体例② よくドラマで見る
＜状況＞
A容疑者は「１８：００まで横浜で友人のパーティーに参加していたこと」が分かっている。
そして殺人事件は１８:５０に八王子で起こった。
ここから「Aさんは殺人犯でないこと」を証明する。
背理法で証明する。
「Aさんが殺人犯である」と仮定する。
そうすると、Aさんは１８:５０に八王子にいる必要がある。
しかし、横浜-八王子は横浜線でも最低１時間かかる。つまり、Aさんが八王子に到着するのは、最短でも１９:００。
１８:５０に八王子にいることは不可能。よって矛盾。
「Aさんは殺人犯である」という仮定が誤り。「Aさんは殺人犯ではない」
こういうの推理ドラマでよく見ますよね。コナンみたいな探偵漫画でもよく出てきます。
実は、みんな日頃から慣れ親しんでいる推理は「背理法」なんです。
背理法 証明問題①
「有理数＝q / p」パターン
√2が無理数であることを証明しなさい。
√打つと見にくいので、写真で行きます。
今回のポイント「有理数は q/p（ｐは自然数。ｑは整数）」とおける。
ここでキーとなるのが「ｐとｑは互いに素」。つまり、ｐとｑは公約数を持たないわけです。（１は除きます）
(偶数)²＝(偶数)
(奇数)²＝(奇数)
だから(偶数)＝x²のとき、xは偶数なんです。
ｐとｑが公約数２を持ってしまうと、互いに素（公約数を持たない）に反してしまいます。
つまり矛盾です。
そして最後に決め台詞。
背理法 証明問題②
「有理数＝R」パターン
「２＋√3」が無理数であることを証明せよ。
途中の「左辺は無理数、右辺は有理数」となるとき、右辺は有理数の単純計算だけから成るわけです。
有理数の「和・差・積・商」だけから成るものは有理数です。
そしていつものように、矛盾。
「不条理」ってのは「間違い」ってことです。
背理法 証明問題③
恒等式パターン
ｘ、ｙは有理数とする。
ｘ＋ｙ√2＝０のとき、ｘ＝ｙ＝０となることを証明せよ。ただし、√2は無理数である。
「ｘ＋ｙ√3＝０のとき、ｘ＝ｙ＝０」の反対は、
「ｘ＋ｙ√3＝０のとき、ｘ≠０ or ｙ≠０」
ですが、こんなに全体を否定する必要はないです。
「ｙ＝０」の反対は「ｙ≠０」という狭い範囲で背理法を使ったわけです。ｙ＝０だとｙで両辺を割れないので。
「ｙ≠０」で矛盾が起きたので、ｙ＝０だね。
ｙ＝０だと、ｘ＝０になっちゃうね。
いつの間にか証明終わってた。
そんな感じ。
ｘ＋ｙ√2＝a＋b√2
みたいなやつは、右辺を左辺に移行して
(ｘ－a)＋(ｙ－ｂ)√2＝０
にしてしまえば、同じように解けますよね。「ｙ－ｂ≠０と仮定する」から始めればいいのです。
まとめ
定期テストなんかで出てくる「無理数・有理数の証明」の問題はだいたい↑の３パターンで解けます。
「～～＝ｑ/ｐ」と置くか、「～～＝R」と置くか、「～～≠０」と仮定するか。
√aが無理数であることの証明は、①。
√どうしの和・差の証明は、②。
係数が文字の証明は、③。
あくまでも目安ですが、だいたい↑の識別でOKです。
他は応用問題となるので、パターンはなく、その場で頭を使って考えてください。
背理法は使いこなせば、強力な証明法なのでぜひとも習得してください。
すいませんあの左辺が偶数なので右辺も偶数のはずであるのところはルート3.5.7では奇数にしますかあとルート3や7の場合は2の部分を3や7に変えてやればオッケーなんでしょうか無理数であることを証明するのやつです
いや奇数じゃなくて、左辺が3,5,7の倍数であるので右辺も3,5,7の倍数のはずとなります。
すいませんこれってルート2.3.5.7でもできますかね全部?www
できますよ
あのルート3の場合って偶数ではなく奇数にはしますか
いや三の倍数にします
2のところを3にすればいいですか？
2を3に変えるだけでいいですかね
ルート7だったら２を7に変えるだけでいいですかね？
あと左辺が偶数ならば右辺も偶数であるのところは3とか7だったら偶数の部分を奇数に直しますかね？明日テストなので不安なんですすみません
後ただのミスだったら申し訳ないんですが右辺は偶数なので左辺も偶数。
p=2pのところの’はつけなきゃだめですか？2pの上に点みたいな物がついてます？あれってつけます？
つけます。p=2pになるのはp=0のときだけなのでそもそも議論が破綻してしまいます。その二つは別の記号です
高一の者です。数学について質問させていただきます。例えば英語のリスニング力はシャドーイングを怠れば衰えると思います。それと同じように解法暗記を終えた後の解法のアウトプット力（応用力）もプラチカや新スタ演で一時的に応用力が上がってもしばらく数学の応用問題に触れなければそれは衰えうるものなのでしょうか（もし簡単に衰えてしまうなら応用系の問題集に入る時期を考えなければならない）？数学のいわゆる応用力といわれているものは目に見えず私自身今はよくわからない力なので質問させていただきました。あとDioさんがdeath noteで好きなキャラは何ですか。答えていただけたらありがたいです！！
衰えます。勘が鈍るというか、そういった形です。ただ単純暗記と違って、そんなすぐに衰えることはないので特別気にしすぎる必要もないかなと思いますし、そのまま過去問に入ってしまえば過去問でも応用力はつくので大丈夫です。Death Noteはやっぱりライトですよね。頭の良さもそうですけど、家族も平然と欺くサイコパスさも好きです笑。
ありがとうございます。一つ一つ覚えていきたいと思います。
高1の者です。
背理法の問題を解く時に「有理数=p/q」などと置くところまではできるのですが、その先にどうやって矛盾を示したらいいのかがいつも思いつきません。問題ごとにどうするのかを覚えるべきなのでしょうか？
カルピスさんコメントありがとうございます。
問題のパターンを覚えていくしかないですね。有理数系の問題なら、互いに素と仮定して、公約数を持つことを示すのがセオリーです。